پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

[navidpourjafari]

سلام
سوالی تو ذهنم هست اینکه چرا در محاسبه ی پاسخ سیستمهای LTI از طریق پاسخ فرکانسی ؛ مولفه ی گذرا به ما نمیده در حالی که هر سیستمی به خاطر فرکانسهای طبیعیش باید مولفه ای گذرا ی مستقل از ورودی ایجاد کنند
پاسخ فرکانسی باید مثل پاسخ ضربه بتونه سیستم را کاملا توصیف کنه

[pajuhaan]

پاسخ : پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

خوب این به خیلی چیزا وابسته هست ! معمولا وقتی یه سیستم رو فرضا میایم با دستگاه پاسخ ، فرکانسیش رو ثبت می کنیم توی فرکانس های که مد های سیستم رو تحریک نمی کنند پاسخ گذرا ، یا میرا میشه یا اگه غیر میرا باشه محدوده و البته فرکانسش با فرکانس تحریک فرق داره و با فیلتر کردن فقط مولفه فرکانس تحریک رو دامنه و فازش رو بدست میاریم. اگه فرکانس تحریک ما با فرکانس های طبیعی سیستم یکی باشه بازم ممکنه اتفاقای مختلفی بسته به شرایط سیستم رخ بده که رفتار سیستم حول اون فرکانس بررسی میشه . در مجموع اصل پاسخ فرکانسی بر این اساسه که ما سیستم رو با یه طیف فرکانسی تحریک می کنیم و صبر می کنیم سیستم حالت گذراش رو طی کنه ( حالت گذرایی که اون مولفه ی فرکانسی رو داره نه فرکانس طبیعی سیستم! چون ممکنه اصلا پاسخ طبیعی سیستم میرا نشه) و [glow=red,2,300]فقط مشخصات مولفه های دامنه و فاز خروجی که فقط فرکانس ورودی رو داره[/glow] رو اندازه می گیریم و کاری با پاسخ های ناشی از فرکانس های طبیعی سیستم ندارم .
فرکانس های طبیعی توی نقاطی که فرکانس ورودی ما بهشون نزدیک میشند یا باهاشون برابر میشند خودشون رو توی پاسخ فرکانسی سیستم نشون میدند و سیستم به طور کامل با این پاسخ فرکانسی توصیف میشه .
البته روش محاسبه پاسخ فرکانس که بالا گفتم برای سیستم های LTI فرکانس پایین هست .

[navidpourjafari]

پاسخ : پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

درسته
ولی مثلا سیستمی با تابع تبدیل 1-^(s+1) رو در نظر بگیرین.پاسخ فرکانسیش میشه 1-^(jw+1)
اگه به ورودیش یک سیگنال 2cos 2t اعمال کنیم در خروجی به ما یک کسینوس با فرکانس 2 و دامنه 0.5-^5 و فاز 2/1 arctan- که برابر با 63 درجه هست میده یعنی : (y(t)=0.44*2 cos (2t +63

ولی میدانیم اگه به ورودی یک سیستم LTI یک نمایی مختل متناوب (exp(jwt بدیم خروجی برابرست با همان نمایی
کم فقط در (H(jw ضرب شده.حالا ( 2cos(2t برابرست با (exp(-j2t)+ exp(j2t
پس پاسخ باید برابر باشد با (H(j2)exp(j2t)+H(-J2)exp(-j2t که اگه حلش کنیم اصلا پاسخ گذرا بدست نمی یاد ولی
تابع تبدیل سیستم نشون میده که پاسخ گذرای (exp(-t را داره

چرا اینجا پاسخ گذرا بدست نمییاد؟

ممنون

[mms25754]

پاسخ : پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

در مسئله تو که 2cos2t اصلا پاسخ گذار نداری!!
وردی تو در حالت دائم قرار داره یعنی حالت گذراش تو منفی بینهایت گذشته و رفته اگه می خوای حالت گذرا ببینی باید ورودیت مبدا زمانی داشته باشه تا جالت گذرا براش بوجود بیاد

[navidpourjafari]

پاسخ : پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

ممنون از پاسخت
ظاهرا در مورد همین سیستم با همین ورودی وقتی خروجی سیستم رو با عکس فوریه گرفتن از (Y(jw)=H(jw).X(jw
بدست میاریم میشه (y(t)=0.88cos(2t + 63 در حالیکه اگه از طریق عکس لاپلاسگیری از (Y(S)=H(S).X(S بدست میاریم میشه
(y(t)=0.88cos(2t + 63) + exp (-t
که این نمایی جدید ناشی از پاسخ های گذرای سیستم هست و اصلا ربطی هم به ورودی نداره

آقای محمد خانی ؛ احتمالا علت این اختلاف به خاطر این هست که پاسخ ضربه ؛ سیستم رو کاملا توصیف می کنه و اگه پاسخ ضربه رو داشته باشی می تونی پاسخشو به هر سیگنال دیگه ای هم از روی انتگرال کانولوشن تعیین کنی (پاسخ گذرا و دائمی) (y(t)=x(t) * h(t

حالا اگه از این انتگرال کانولوشن تبدیل لاپلاس بگیریم و بنویسیم (Y(s) = H(s) . X(s عکس تبدیل لاپلاس (Y(s
پاسخ کاملو میده چون به گفته ی خودت که بعد ویرایشش کردی تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه ، پاسخ ضربه رو تو تمام صفحه ی مختلط مورد بررسی قرار می ده از جمله در فرکانسهای طبیعی سیستم که عامل پاسخهای گذرا هستند
ولی اگه از تبدیل فوریه ی پاسخ ضربه استفاده کنیم چون بررسی پاسخ ضربه رو روی محور موهومی محدود میکنه فقط تحلیل داتمی (پاسخ ناشی از ورودی)رو انجام میده و کاری به پاسخ های ناشی از ساختار سیستم (گذرا) نداره

مشکل از اونجایی برای من شروع شد که من تو کتاب اپنهایم [ ترجمه دکتر جبه دار و مهندس بهمن زنج چاپ چهارم] صفحه 349 خونده بودم : « پاسخ فرکانسی درست مثل عکس تبدیل آن ، پاسخ ضربه ی واحد ، نقش مهمی در تحلیل سیستمهای LTI ایفا می کند.چون (h(t یک سیستم LTI را کاملا مشخص می کند ، لذا (H(jw نیز باید چنین باشد.» ولی تو درس کنترل خوندیم که پاسخ فرکانسی از روی ورودی سینوسی و در حالت دائمی سیستم در فرکانس های مختلف بدست مییاد و به جز تا حدودی در سیستمهای مرتبه ی دوم ، در هیچ سیستم دیگه ای خیلی حالت های گذرا در پاسخ فرکانسی قابل ردگیری نیستند و این تناقضی برای من ایجاد کرده بود

دوستان ببینن اگه نتیجه گیری من اشتباهه لطفا بگن

ممنون

[pajuhaan]

پاسخ : پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

ممنون از پاسخت
ظاهرا در مورد همین سیستم با همین ورودی وقتی خروجی سیستم رو با عکس فوریه گرفتن از (Y(jw)=H(jw).X(jw
بدست میاریم میشه (y(t)=0.88cos(2t + 63 در حالیکه اگه از طریق عکس لاپلاسگیری از (Y(S)=H(S).X(S بدست میاریم میشه
(y(t)=0.88cos(2t + 63) + exp (-t
که این نمایی جدید ناشی از پاسخ های گذرای سیستم هست و اصلا ربطی هم به ورودی نداره

آقای محمد خانی ؛ احتمالا علت این اختلاف به خاطر این هست که پاسخ ضربه ؛ سیستم رو کاملا توصیف می کنه و اگه پاسخ ضربه رو داشته باشی می تونی پاسخشو به هر سیگنال دیگه ای هم از روی انتگرال کانولوشن تعیین کنی (پاسخ گذرا و دائمی) (y(t)=x(t) * h(t

حالا اگه از این انتگرال کانولوشن تبدیل لاپلاس بگیریم و بنویسیم (Y(s) = H(s) . X(s عکس تبدیل لاپلاس (Y(s
پاسخ کاملو میده چون به گفته ی خودت که بعد ویرایشش کردی تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه ، پاسخ ضربه رو تو تمام صفحه ی مختلط مورد بررسی قرار می ده از جمله در فرکانسهای طبیعی سیستم که عامل پاسخهای گذرا هستند
ولی اگه از تبدیل فوریه ی پاسخ ضربه استفاده کنیم چون بررسی پاسخ ضربه رو روی محور موهومی محدود میکنه فقط تحلیل داتمی (پاسخ ناشی از ورودی)رو انجام میده و کاری به پاسخ های ناشی از ساختار سیستم (گذرا) نداره

مشکل از اونجایی برای من شروع شد که من تو کتاب اپنهایم [ ترجمه دکتر جبه دار و مهندس بهمن زنج چاپ چهارم] صفحه 349 خونده بودم : « پاسخ فرکانسی درست مثل عکس تبدیل آن ، پاسخ ضربه ی واحد ، نقش مهمی در تحلیل سیستمهای LTI ایفا می کند.چون (h(t یک سیستم LTI را کاملا مشخص می کند ، لذا (H(jw نیز باید چنین باشد.» ولی تو درس کنترل خوندیم که پاسخ فرکانسی از روی ورودی سینوسی و در حالت دائمی سیستم در فرکانس های مختلف بدست مییاد و به جز تا حدودی در سیستمهای مرتبه ی دوم ، در هیچ سیستم دیگه ای خیلی حالت های گذرا در پاسخ فرکانسی قابل ردگیری نیستند و این تناقضی برای من ایجاد کرده بود

دوستان ببینن اگه نتیجه گیری من اشتباهه لطفا بگن

ممنون

البته مشکل یکم پایه ای تره! تعریف لاپلاس که شما بر اساس اون نتیجه ی بالا رو گرفتید تعریف لاپلاس یک طرفه هست و همون طور که گفتن شما COS (WT) نمیدید به سیستم بلکه COS (WT)U(T) رو دارید میدید که لاپلاسش همون پاسخ گذرا رو تو سیستم نشون میده . برای اینکه به تناقض بالا نرسید (که البته تناقضی هم در اصل وجود نداره و 2 امر متفاوته) باید لاپلاس از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت یا همون دو طرفه ی ورودی و سیستم رو در نظر بگیرید .
اگر جمله ی آخر از اپنهایم نقل کردید که اپنهایم هم پس اشتباه کرده! چون سیستم های متربه ی ذوج می تونند پاسخ هایی شبیه سیستم های مرتبه ی 2 بدند و حالت گذرا داشته باشند .
من خودم بارها به صورت عملی این کارو کردم . وقتی به وردی یه سیگنال سینوسی اعمال می کنید در حقیقت SIN(WT)U(T) که همون چیزیه که شما دارید میگید و پاسخ گذرا ایجاد می کنه! صبر می کنیم تا پاسخ گذرا بره و در این زمان مولفه های خروجی رو اندازه می گیریم ( یعنی مثلا 1 دقیقه بعد میشه زمان صفر و زمان اتصال ورودی در حکم همون - بینهایته! که این میشه پاسخ به سیگنال SIN(WT).

[mms25754]

پاسخ : پاسخ فرکانسی سیستمهای LTI

حق با اقای پژوهان هست شما باز هم برای تبدیل لاپلاس مبدا زمانی در نظر نگرفتید ولی گفتم تو این مثال شما چون تو حال دائم سینوسی هستید فرقی بین لاپلاس وفوریه نیست
در اصل تبدل لاپلاس cos دو تا ضربه میشه! با این اگه حل کنی بین فوریه و لاپلاس فرقی هم نیست منطقی هم هست که نباشه چون حالت گذرات منفی بینهایت تمام شده
ولی برای برای cost که از صفر شروع میشود تبدیل لاپلاس پاسخ کامل یعنی همونی که شما محاسبه کردید میده.
دقیقا پاسخ ضربه سیستم رو کاملا توصیف می کنه
بقیه مطالب هم به عقل بنده درسته