سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

[Aryan_M]

سلام.

کسی می تونه خیلی منطقی و با دلیل بگه چه شبیه ساز هایی و به چه دلیل در زمینه خاصی از دیگری بهتر هستند؟

من 4 ساله با شبیه ساز پروتئوس کار می کنم و خوب قلقش دستم اومده و تقریبا هرچی شبیه سازی کردم (مدارات نسبتا ساده) در واقعیت هم همون طور شد.
چند سوال دارم:
اولا چرا همه مردم بی دلیل و فقط چون از یکی دیگه شنیدن می گن پروتئوس فقط برای شبیه سازی مدارات دیجیتال و میکروکنترلر ها و یا میکروپروسسور هاست؟
هرکی همچین حرفی زد ازش پرسیدم چرا و دلیلی نداشت. چون از یکی دیگه همینو شنیده بود. پروتئوس 2 شبیه ساز داره یکی real time و یکی هم Analise که هر دوش مدارات پ امپی و ترانزیستوری و پر از خازن و سلف رو برام درست شبیه سازی کردن. یک سری laplace primatives هم داره کلی کلک شبیه سازی می شه باهاش زد.
من قبول دارم proteus خطاهای الکی زیاد می ده ولی قلق خطاهاش دستم اومده و می دونم باید چی کار کرد.
یا مثلا می گن طراحی PCB فقط با Altium . باز هم می پرسم چرا مگه چی از Proteus بیشتر داره؟ می گن طراحیش تمیز تره. من با پروتئوس مدارای خیلی تمیز و سریع تاحالا زدم و نمی دونم برای طراحی یک مدار 2 رو دیگه چی بیشتر از این ابزار ساده لازمه؟ تو خود سایت اصلی Altium هم نوشته بود همه دارند به Altium رو میارن شما چه طور؟!!!

نرمافزار های خوب شبیه سازی دیگه چی هستند؟
مثلا labview و multisim چه جوریه؟
کسی می تونه خیلی منطقی و با دلیل بگه چه شبیه ساز هایی و به چه دلیل در زمینه خاصی از دیگری بهتر هستند؟

نرمافزار خوب شبیه سازی الکترومغناطیس چی هست که کار باهاش راحت باشه؟ مثلا شبیه CST
من با CST کار کردم ولی نیاز به شبیه سازی electromagnet static داشتم که همچین چیزی نبود. ایراد الکی می گرفت و مغناطیس رو با الکتریسیته همزمان تو مد استاتیک شبیه سازی نمی کرد. تو مد غیر استاتیک هم میدان ثابت رو شبیه سازی نمی کرد. هر مدی که شبیه سازی کردم یکی از موارد مورد نیاز مدل سازی من رو انجام نمی داد. با یکی از اساتید دانشگاه هم صحبت کردم متوجه نشد چرا باید اشکال داشته باشه. من می خواستم یک دیسک magnetoresistive بر پایه corbino effect رو شبیه سازی کنم.
طراحی 3 بعدی قطعات هم در CST خیلی ضعیف بود.

[ben-robot]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

من از مولتی سیم استفاده کردم مدار انالوگ رو خوب شبیه سازی می کنه عین واقعیت و لب ویو یک زبان برنامه نویسی هستش نه شبیه ساز مدارات

[Aryan_M]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

من از مولتی سیم استفاده کردم مدار انالوگ رو خوب شبیه سازی می کنه عین واقعیت و لب ویو یک زبان برنامه نویسی هستش نه شبیه ساز مدارات

خوب چه مزایایی داره؟ تا چه فرکانس هایی رو پوشش می ده؟ کتابخونه قطعاتش چه قدر غنیه؟ قطعاتش چه قدر واقعی هستند؟
ارور زیاد می ده؟ آنالیز و شبیه ساز real time داره؟ قطعات کمکی غیر واقعی برای کمک به شبیه سازی داره؟
شما تا بحال با پروتئوس کار کردی؟ می تونی مقایسه کنی؟
پروتئوس پک کاملش 4000 یورو قیمتشه. multisim قیمتش 3700 یورو. پس تقریبا هزینه تولیدشون باید یکسان باشه.

[mohsen_Sir]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

این غلطه که شما بیای پروتئوس رو با آلتیوم مقایسه کنی!
آلتیوم به مراتب از پروتئوس توی مدار کشیدن کامله.منتها قبول دارم وقتی به پروژه کوچیکه استفاده کردن از پروتئوس شاید برای بعضی ها راحت تره.ولی یقینا یه پروژه سنگین و حرفه ای رو با آلتیوم میزنن.
این قضیه در مورد شبیه ساز ها هم صادقه
یعنی شما خروجی بعضی مدار ها رو که از پروتئوس میگیری خطای خیلی بیشتری از یه شبیه ساز دیگه مثل اسپایس می بینی.ولی قطعا اینها چیزی از ارزشهای پروتئوس رو کم نمیکنه.

[ben-robot]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

پروتوس میکروکنترلرهای مختلفی داره ولی مولتی سیم نداره
مولتی سیم به لب ویو وصل میشه برای ساختن وسیله ی مجازی جدید چون یک شرکت انارو می زنه لب ویو و مولتی سیم برای کمپانی نشنال اینسترو منت هستن در مدارات انالوگ پروتعوس ضعیفه ولی مدارات دیجیتال قوی

یه خاطره :

من در کارگاه سه ازمایش را بستم ولی جواب نگرفتم و تصمیم گرفتم ان هارو برای گزارش کار در مولتی سیم ببندم وقتی نتیجه رو با گزارش کار دوستام

چک کردم دیدم حتی 0.7ولتاز شکست دیود را نیز حساب کرده و سیگنال کاملا شبیه واقعیت بوده

[Aryan_M]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

این غلطه که شما بیای پروتئوس رو با آلتیوم مقایسه کنی!

شما که از بدیهیات گفتی من استدلال لازم دارم. اگه تو ویکیپدیا سرچ کنین می بینین دستگاه بازی micro که نمی دونم مال چند سال پیشه و هنوز هم تولید می شه البته برای اهداف آموزشی. مدار ساده ای هم نیست. از شماتیک و شبیه سازی تا PCB با پروتئوس ساخته شده. طراحی PCB پروتئوس کلی امکانات داره که من تاحالا استفاده نکردم. مثلا سیستم auto routing قابل برنامه ریزی داره.
شبیه ساز پروتئوس هم از spice3 برای مدارات آنالوگ استفاده می کنه و هم VSM و یک سری چیزای جانبی دیگه. یه چیزی خودشون بهش می گن proSPICE .
البته این همه چیزا که باهم کار میکنند خیلی وقتا باعث نا همخوانی و ارور های الکی در شبیه سازی می شه.
اونطور که من خوندم SPICE یک نرمافازر open source هستش و تغریبا همه شبیه ساز ها از همین استفاده می کنند.
http://en.wikipedia.org/wiki/SPICE

من می خوام ببینم واقعا شبیه ساز بهتر از پروتئوس برای مدارات آنالوگ چی هست؟ و برای طراحی PCB هم همینطور.
سعی می کنم altium و multisim رو بگیرم یکم باهاشون کار کنم ببینم چه قدر تفاوت دارند.

نرمافزار های خوب دیگه کسی سراغ نداره؟
orcad چه طوره؟ لطفا دلیل بیارید. نه فقط به خاطر این که یکی دیگه گفت یا همه همینو می گن.

[mohsen_Sir]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

شما که از بدیهیات گفتی من استدلال لازم دارم. اگه تو ویکیپدیا سرچ کنین می بینین دستگاه بازی micro که نمی دونم مال چند سال پیشه و هنوز هم تولید می شه البته برای اهداف آموزشی. مدار ساده ای هم نیست. از شماتیک و شبیه سازی تا PCB با پروتئوس ساخته شده. طراحی PCB پروتئوس کلی امکانات داره که من تاحالا استفاده نکردم. مثلا سیستم auto routing قابل برنامه ریزی داره.
شبیه ساز پروتئوس هم از spice3 برای مدارات آنالوگ استفاده می کنه و هم VSM و یک سری چیزای جانبی دیگه. یه چیزی خودشون بهش می گن proSPICE .
البته این همه چیزا که باهم کار میکنند خیلی وقتا باعث نا همخوانی و ارور های الکی در شبیه سازی می شه.
اونطور که من خوندم SPICE یک نرمافازر open source هستش و تغریبا همه شبیه ساز ها از همین استفاده می کنند.
http://en.wikipedia.org/wiki/SPICE

من می خوام ببینم واقعا شبیه ساز بهتر از پروتئوس برای مدارات آنالوگ چی هست؟ و برای طراحی PCB هم همینطور.
سعی می کنم altium و multisim رو بگیرم یکم باهاشون کار کنم ببینم چه قدر تفاوت دارند.

نرمافزار های خوب دیگه کسی سراغ نداره؟
orcad چه طوره؟ لطفا دلیل بیارید. نه فقط به خاطر این که یکی دیگه گفت یا همه همینو می گن.

ببین خیلی چیزها هست که برای این که توجیه بشی نمیشه فقط به چند تا خط بسنده کرد.بحث خیلی عمیق تر و اساسی تر از این حرفهاست.من نمیتونم بیام تک اک پارامتر هایی که آلتیوم داره رو بیام با پروتئوس برات مقایسه کنم و از حوصله بحث خارجه.ولی فقط بخش rule های آلتیوم به تنهایی یه مزیت خیلی بزرگ نسبت به پروتئوس محسوب میشه.منم وقتی می خواستم با آلتیوم کار کنم آلتیوم رو یه نرم افزار بی خودی پیچیده می دونستم و بیشتر ترجیح می دادم با پروئوس کار کنم اما گذر زمان نظرم رو عوض کرد.شما اگه دنبال استدلالی بایستی خودت یکم با امکانات هر دو تا نرم افزار آشنا بشی ...
البته به نظر من کار با پروتئوس بعضی جاها خیلی راحت تر از آلتیومه .فکنم بخش روت کردن پروتئوس از یه الگوریتم بهتری نسبت به آلتیوم استفاده می کنه و خیلی خوب جواب میده ولی آلتیوم یکم ضعیف کار میکنه(البته شاید من نمیتونم کار کنم)ایننا همه از باب مثال بود ولی شک نکن شما مهم اگه با آلتیوم کار کنی بعد از یه مدت کوتاه آلتیوم رو به پروتئوس ترجیح میدی.
در مورد اسپایس(ارکد) هم نمیشه مطلق گفت ارکد سر تر از پروتئوس هست.پروتئوس یه سری ویژگی داره اسپایس هم همین طور.اسپایس هم به نسبت توی حل مسائل بهتر عمل می کنه و با واقعیت خیلی نزدیک تره ولی اینترفیسش همچنان قدیمی هست و باید تغییر کنه(شبیه اینتر فیس نرم افزارای دوران ویندوز 98 هست)امکان تغییر و ایجاد قطعات جدید.دریافت نمودار های و شبیه ساز های مورد نظر و هزار تا مزیت دیگه.شما فقط یه مدار آناللوگ رو توی هردو نرمافزار پروتئوس و ارکد تست بگیر و بعد بیا تو واقعیت ببند و نتیجه رو اعلام کن بی شک اسپایس دقیق تره.
یا حق

[Aryan_M]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

در مورد Altium کمی قانع شدم. امتحان می کنم ببینم چه قدر ابزارش مفید واقع می شه. احتمالا همون طور که شما می گین باید مفید باشه.

.پروتئوس یه سری ویژگی داره اسپایس هم همین طور.اسپایس هم به نسبت توی حل مسائل بهتر عمل می کنه و با واقعیت خیلی نزدیک تره ولی اینترفیسش همچنان قدیمی هست و باید تغییر کنه(شبیه اینتر فیس نرم افزارای دوران ویندوز 98 هست)امکان تغییر و ایجاد قطعات جدید.دریافت نمودار های و شبیه ساز های مورد نظر و هزار تا مزیت دیگه.

spice همون طور که گفتم یک نرمافزار open surce هست مثل موتور یک نرمافزار مثل موتور بازی conter strike . تمام نرمافزار های شبیه ساز مدارات الکترونیک از همین SPICE استفاده می کنند. حالا اسم شبیه ساز Orcad ا Pspice هستش.
هر شبیه سازی به نوبه خودش این SPICE رو تغییر داده. مثلا پروتئوس اسم سیستم شبیه ساز خودشونو گذاشتن PROspice .
من تاحالا با Orcad کار نکرده بودم ولی تو سیستمم 9.2 رو داشتم و اومدم یک مدار فیلتر و آمپلیفایر پ امپی ساده رو باهاش شبیه سازی کنم گیج شدم. اصلا مولد سیگنالشو پیدا نکردم. نفهمیدم چه طور خروجی پراب ها رو بدیم به نمودار نمایش بده.
الان orcad 16.6 منتشر شده و 16.5 در سایت p30download گذاشته شده همراه کرک. یک سری به سایت اصلیش زدم به نظرم محیطش خیلی تمیز تر شده. پس بهتره با همین آخرین ورژن تست کنم ببینم کدوم شبیه ساز بهتره.
در ضمن امکان تغییر و ایجاد قطعه جدید در پروتئوس هم وجود داره ولی من فقط بلدم Pakage رو تغییر بدم. الان تست کردم تونستم قطعه بسازم ولی مدل شبیه سازیشو نتونستم. پروتئوس لیست نمودار های قابل نمایشش از ORCAD بیشتره. یک توضیحاتی تو help گذاشته که چه طور قطعه جدید که کد SPICE ورژن 2 یا 3 داره اضافه کنیم به یک مدل ولی کامل یاد نگرفتم.

[mohsen_Sir]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

توی بحث آموزش حق با شماست کار کردن بااسپایس و نرم افزار های اون یکم سخته.ولی به هر حال یه بار که یاد بگیریرد دیگه تمومه.در مورد پروتئوس بگم که امکان تعریف قطعه جدید درسته که وجود داره ولی نیاز به یه برنامه نویسی داره که اصلا ارزش ساخت نداره.ولی در کل شما نمیتونی پروتئوس و اسپایس ر. با هم مقایسه کنی چون هر کدوم واسه یه کار خاص بوجود اومده.و ویژگی هاشون فرق داره.

[Aryan_M]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

من الان دارم ORCAD 16.5 رو داولود می کنم و هنوز تستش نکردم.

توی بحث آموزش حق با شماست کار کردن بااسپایس و نرم افزار های اون یکم سخته.ولی به هر حال یه بار که یاد بگیریرد دیگه تمومه.در مورد پروتئوس بگم که امکان تعریف قطعه جدید درسته که وجود داره ولی نیاز به یه برنامه نویسی داره که اصلا ارزش ساخت نداره.ولی در کل شما نمیتونی پروتئوس و اسپایس ر. با هم مقایسه کنی چون هر کدوم واسه یه کار خاص بوجود اومده.و ویژگی هاشون فرق داره.

حرفی که من میزنم اینه تقریبا همه اینا برای همه کار طراحی شدن. حالا ممکنه یکی در موردی از دیگری برتری داشته باشه.
من با این نحوه استفاده شما از واژه SPICE مشکل دارم.
آقا SPICE برابر نیست با PSPICE (که 2 نرمافزار ORCAD و یکی دیگه در شبیه سازی ازش استفاده می کنند).
SPICE یک تکنیکه , یک موتور نرمافزاره , یک چیز open source هستش , یک زبان توصیف قطعات الکترونیکیه , 3 ورژن داره که عموما از ورژن 2 استفاده می شه , تولید کنندگاه قطعات کد SPICE قطعشونو برای شبیه سازی منتشر می کنند.
http://en.wikipedia.org/wiki/SPICE
Pspice یک ورژن غیر Open source از SPICE2 هستش که 2 نرمافزار شبیه ساز ازش استفاده می کنند و یکیش ORCAD است.
http://en.wikipedia.org/wiki/PSpice
نرمافزار Proteus از یک ورژن دیگه SPICE استفاده کرده به نام SPICE3F5 که تبدیلش کردن به ProSPICE خودشون.
برای اضافه کردن قطعه جدید نیازی به برنامه نویسی نیست. باید یک کد SPICE2 یا SPICE3 برای قطعه مورد نظر پیدا کرد و فقط پایه ها رو تعیین کرد و save کرد.
کد SPICE رو معمولا خود شرکت تولید کننده منتشر می کنه ولی شاید یکی بیاد قطعه رو در شرایط مختلف آزمایش کنه و یک کد دیگه براش بنویسه.
مشکلی که من پیدا کردم اینه که خود تولید کننده Proteus گفته که کد های مخصوص Pspice با SPICE3F5 یا ProSpice شرکت labcenter electronics سازگاری نداره و اگه یک تولید کننده کد SPICE2 یا SPICE3 نداده باشه نمی شه تو Proteus گذاشتش مگر کدشو برای سازگاری با ProSpice تغییر داد.
2 تا مثال در sample های proteus هست که نشون می ده چه طور قطعه جدید اضافه کنیم.
البته من یاد نگرفتم باید بیشتر مطالعه کنم.

در پروتئوس اضافه کردن شکل و پکیج قطعات خیلی راحته.
شاید تو ORCAD اضافه کردن مدل SPICE قطعات ساده تر باشه.

[Aryan_M]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

من multisim رو امتحان کردم. از جدید ترین ورژن ها هم هست. مال چند ماه پیش.
محیط کاربریش به نظم و سادگی و تمیزی Proteus نیست.

یک مدار opamp دار ساده طراحی کردم اول با فرکانس 60 هرتز بعد 1 مگاه هرتز.
ابتدا که دیدم روش های خروجی گیری و نمایش اعداد خیلی به جالبی Proteus نیست.
تقریبا دامنه سیگنال خروجی 30% تفاوت داشت و شکل موج هم خیلی متفاوت بود.
دیدم time step به طور defult در multisim بسیار کم بود.
time setp رو افزایش دادم تا جایی که دقت برابر proteus بشه. ولی proteus با همون دقت با سرعت فوق العاده بیشتر و به صورت realtime شبیه سازی کرد.

متوجه شدم که proteus سیستم تشخیص خودکار دقت و همگرایی داره و بر اساس دقت مورد نیاز که بسیار هم بالاست time step رو تعیین می کنه.
نتایج آنالیز هردو نهایتا بستگی به time step داره. البته عوامل دیگه مثل الگوریتم های محاسبه هم تاثیر میزارن ولی با هر الگوریتم SPICE هم که باشه اگه time step رو زیاد کنید به دقت مورد انتظار خواهید رسید.
ورژن SPICE موجود در Proteus جدید تر از PSPICE هستش ولی PSPICE شناخته شده تره در نتیجه سازندگان ترجیح می دن کد pspice منتشر کنن. البته کلی ترش اینه که کد SPICE2 بدن بیرون. ولی SPICE3f5 کمتر مورد توجه هست.
در نتیجه قطعاتی که از قبل در کتاب خونه PROTEUS گذاشتن از عملکرد بهتری برخوردار هستن. البته DEVELOPER های زیادی هستن که مدل جدید اضافه می کنند. من یک کتاب خونه پر از خرت و پرت دانلود کردم ولی نمی شه اعتماد کرد که تمام این قطعات درست کد نویسی شده باشند.

تصحیح می کنم : منظورم این نیست که Multisim از pSPICE استفاده می کنه. ورژن SPICE موجود در Multisim همون Berkeley SPICE3F5 هست. ولی توانایی اضافه کردن قطعات جدید بیشتره.

مشکل اصاصی Proteus از نظر من ایرادات بنی اسرائیلی متعدد و هنگ کردن نرمافزار در برخی اوقاته. البته قلق داره که درستش کنین. شایدم دلیلش کرک بودن نرمافزاره.

از مزایای شبیه سازی Proteus شبیه ساز Real time هستش که من تاحالا شبیه ساز واقعا Real time به این قدرت ندیدم. همچنین در مدارات دیجیتال پیچیده و پردازنده ها ترکیب شبیه سازی SPICE3F5 و VSM کار می کنن با هم که سرعت پردازش و دقت شبیه سازی رو افزایش می دن. بهش می گن PROspice.

multisim یکسری امکانات جزئی بیستر از Proteus داره مثلا تو یک پراب تمام اطلاعات رو نشون می ده مثل توان و فرکانس و rms و peack-to-peack و اسیلوسکوپشم همینارو نشون می ده ولی تو Proteus باید برای Probe ها تعیین کنید. توان سنج proteus تو 8 اضافه شده ولی مال real time. من قبلا 3 تا پراب می زاشتم و در آنالیزور می نوشتم اختلاف ولتاژ 2 تا پراب ولتاژ رو حساب کنه ضرب در جریان کنه و در یک عدد ثابت جهت نرمال سازی گراف با دیگر گراف ها کنه که نتیجه راحت تر دیده بشه. کل کار لازم هم اینه که در بخش پراب خیلی ساده بنویسیم : (p1-p2) * ـp3
هر فرمول دیگه هم که بخواهیم می شه با پراب ها ساخت. ضرب و جمع و تقسیم و انتگرال و ... من یک المان زمان هم گذاشتم انتگرال یک پرابو گرفتم تقسیم بر زمان کردم بشه میانگین زمانی. یکبار هم اختلافشو با میانگین گرفتم به توان 2 رسوندم بشه واریانس!!!

جنراتور های سیگنال هم در Proteus کامل تر هستن. می تونید دستی یک شکل موج بکشین براتون تولید بشه. همچنین با زبان easy HDL هم می تونین برنامه سیگنال بنویسین. البته شاید multisim هم اینارو داشته باشه و من ندیده باشم.

در بخش آنالیز proteus رابط کاربری بسیار ساده تری دره. ولی بجاش multisim آنالیز montcarlo و parametric و 4 تا دیگه داره که Proteus نداره ولی بجاش Proteus ـ 3 تا آنالیز دیگه داره.

فقط به خاطر همون 4-5 تا آنالیز بیشتر شاید بشه بعضی اوقات مفیدتر واقع بشه ولی در مدارات مثلا 10-30 ترانزیستوری با مثلا 10 پ امپ و دیودای سریع و اینجور چیزا همون proteus بهتره. اگه از آنالیزش خوب استفاده کنیم و تنظیمات دقتشو بالا ببریم مدارات تا کمتر از 1GHZ رو هم می تونه شبیه سازی کنه. من دیدم عامل های ایجاد تاخیر مسافتی هم در شبیه سازش گذاشتن. خوب اگه ما از نتیجه طراحی اطلاعاتی داشته باشیم می تونیم از این عوامل استفاده کنیم و مدارات کمتر از 1GHz هم شبیه سازی کنیم. در ضمن هر وقت اشتباه کردین و در آنالیز بازه زمانی رو خیلی بالا گرفیتن و دقتم زیاد کرده بودین می تونین خیلی راحت با task manager بخش آنالیز PROspice رو end task کنید. در ضمن شبیه سازی میکرو کنترلر هم در حالت آنالیز به طور کامل انجام می شه.
با دقت کامل یک فیلتر رو شبیه سازی کردم در 1GHz . البته در real time همین فیلتر 80% CPU می گیره. یک ترانزیستور بافر هم بهش وصل کردم ولی از صحت نتایج اطلاعی ندارم. از ترانزیستور j-fet خیلی سریع و ارزون 2n3819 استفاده کردم. سیگنال صاف دراومد بیرون.

نتیجه نهایی : MULTISIM در برابر PROTEUS در دیجیتال و در طراحی مدار و سرعت کار , زیبایی و نظم محیط برنامه قابل رقابت نیست.در آنالوگ در مواردی برتری داره مثلا mont carlo . (البته یه جوری سخت می شه آنالیزور montcarlo در proteus ساخت) . multisim در اضافه کردن قطعات جدید خیلی برتره.

[shakarak_11]

پاسخ : سوال شبیه ساز الکترونیک و الکترومغناطیس

برای الکترومغناطیس بهترین نرم افزار که بتوانه برایت مسایل الکترو استاتیک و جریان های سیال را برات شبیه سازی کنه نرم افزار مطلب است نمونه ای از سرفصل و عنوان ها را که در مغناطیس قابل استفاده است را برات می نویسم

میدان های برداری بر روی منحنی ها
تئوری گرین
تئوری کرل
تئوری دیورژانس

توابع سه متغیره و سطوح پارامتریک
میدان برداری گرادیان
سطح دوار
تئوری تهی
جریان های چرخشی و شعاعی
فلو ها و معادلات اویلر